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奇怪的「若P则Q」(一)(The Odd Material

发表于 2020-07-01 | 收藏519 |


摘要:命题演算「若 \(P\) 则 \(Q\)」的真值表规则,经常困扰初学者。本篇讨论这个规则。

早年高中数学教材由于受到「新数学」的影响,为了强调数学的严谨,多了一些逻辑的材料,后来一直延续下来。还记得高一刚入学时,看到类似底下的考题,真会令初见的人嗔目结舌:

下列哪些叙述为真:

(A)「如果日月潭在南投县,则太阳从东方升起。」
(B)「如果日月潭在南投县,则太阳从西方升起。」
(C)「如果日月潭在高雄县,则太阳从东方升起。」
(D)「如果日月潭在高雄县,则太阳从西方升起。」

答案中,就算是似乎比较显然的(A)(B)也令人揣揣不安,更何况是(C)(D)。因为学生实在看不出来日月潭的位置与太阳从何方升起有任何关係。

学生并没有错,他们从小努力学习的不正是做正确的推理吗?像这幺无厘头的问题,竟然还有答案,他们大概只能把它当做玩笑或冷笑话。数学是教人推理的学问,而「若\(\cdots\)则\(\cdots\)」更是推理的基本形式,上面的问题难免令人纳闷是不是负面教学,因为它套着「若\(\cdots\)则\(\cdots\)」的推理形式,却完全看不到推理在哪里?

上述「若 \(P\) 则 \(Q\)」的规则称为「实值蕴涵」(material implication),李国伟先生建议将它译为「真值蕴涵」,因为它是由 \(P\) 和 \(Q\) 的真假值所完全决定:

奇怪的「若P则Q」(一)(The Odd Material

换句话说,实值蕴涵的要素是所有命题(具有真假值的叙述)彼此之间都有蕴涵关係,而且由真假值就可完全决定其推理之真假。这正是人们难以接受实值蕴涵的根本原因。其中尤以当 \(P\) 为假时,结果 \(Q\) 不论真假都成立的约定,质疑更大。

本篇先谈谈为什幺要这样设定规则,下篇再回来谈实值蕴涵的评议。第一种说明方法应该是老师最常用的方法,就是举例说明此规则的合理性。例如

「若天空下雨,则马路会湿。」

前两个规则都没有问题,而当天空没有下雨时,马路有可能湿,也有可能不湿,因此两者都成立。这个解释虽然有点勉强,但是至少是在「真正」的推理脉络中。只要老师多举一些真正在推理例子,学生就可以知道至少在这些正常的情况,这个规则是有道理的。

当然老师举例时,要特别让学生见识到,前项和后项中间的不对称性,也就是后项的成立,不见得来自前项的成立。如果学生能领会这一点并牢记,日后至少比较能识破许多公共意见争论时的诡辩。

习题:用下面的问题,让学生知道在数学中,也有许多这样的不对称性:

(1)如果 \(a=1\),则 \(a^2=1\)。
(2)如果 \(ABCD\) 是正方形,则其四内角皆为直角。
(3)如果 \(ABCD\) 是正方形,则其四边彼此相等。

第二种方法是强调在推理中时最重要的是,绝对不能从真的前提,推论出假的结论,

也就是「\(P\) 且非 \(Q\)」绝对不可成立,因此将「\(P\Rightarrow{Q}\)」与下式

\((\)~\({P}{\wedge}\)~\({Q})\equiv\) ~\(P{\vee}Q\)

其中 ~ 表示「非」,\(\wedge\) 表示「且」,\(\vee\) 表示「或」。

因此可以套用比较显然的「或」「且」真值表。这是李国伟先生在「真值蕴涵(Material implication, or truth-value implication)」一文的说明方式。

第三种,是强调实值蕴涵的价值在于说明逻辑的推理规则。

一方面当 \(P\) 为真时,我们都能接受「\(P\Rightarrow{Q}\)」真值表中这部份的规则。

同时,由日常生活的推理经验,人们一定都相信 \(((P\Rightarrow{Q}){\wedge}(Q\Rightarrow{R}))\Rightarrow(P\Rightarrow{R})\) 这个表示一连串推理的根本规则,我们相信不论任何情况,这个规则一定都成立。

于是,由下面的真值表运算:
(永远成立,表示不论 \(P\)、\(Q\)、\(R\) 的真假值如何,打 \(*\) 号那栏的 \(\Rightarrow\) 必须都为真)

奇怪的「若P则Q」(一)(The Odd Material

习题:读者可以验证,后续所有真值可能性,最终 \(*\) 栏的真值皆为 \(\bf T\)。

习题:模仿上例,从另一个推理法则「\((P\wedge(P\Rightarrow Q))\Rightarrow Q\)」,也可以得到类似的结果。

由此可知,实质蕴涵的真值规定有其内在里路可循,倒也不是无的放矢,只是似乎太宽鬆了一点。

连结: 奇怪的「若P则Q」(二)


参考文献

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